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User's Guide: Beta count-parameter prior does not match the cited BDA prior

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Valutazione

Difficoltà
2/5
Tempo stimato
1-3 ore
Idoneità per principianti
72/100
Tipo di issue
Documentazione
Chiarezza
Specificata chiaramente
Stato di attività
Attiva
Stack tecnologico
markdown
Ambito
documentation

Direzione di ricerca

Leggi la sezione “Beta and Dirichlet priors” in src/stan-users-guide/reparameterization.qmd e confronta l’affermazione sul prior e il codice con la sezione 5.3 di BDA3 citata. Decidi quale delle due correzioni proposte mantiene la coerenza matematica della guida, quindi aggiorna il testo e il codice se necessario. Il lavoro è completato quando il prior corrisponde alla spiegazione e la citazione di BDA è corretta.

Scritto dal modello di indicizzazione a partire dal testo della issue.

Descrizione

In src/stan-users-guide/reparameterization.qmd, section "Beta and Dirichlet priors", the text says: "Following @[GelmanEtAl:2013, Chapter 5] the mean gets a uniform prior and the count parameter a Pareto prior with $p(\lambda) \propto \lambda^{-2.5}$." The code has lambda ~ pareto(0.1, 1.5);, which gives this density for $\lambda > 0.1$.

This is not the BDA prior. BDA3 Section 5.3 uses $p(\alpha, \beta) \propto (\alpha + \beta)^{-5/2}$. This density is on $(\alpha, \beta)$, not on $\lambda$. BDA3 gets it from a uniform prior on $(\alpha / (\alpha + \beta), (\alpha + \beta)^{-1/2})$.

The Jacobian of $(\phi, \lambda) \mapsto (\alpha, \beta) = (\lambda \phi, \lambda (1 - \phi))$ is $\lambda$. Thus:

  • The BDA prior on $(\phi, \lambda)$ is $p(\phi, \lambda) \propto \lambda \cdot \lambda^{-5/2} = \lambda^{-3/2}$.
  • The User's Guide prior on $(\alpha, \beta)$ is $p(\alpha, \beta) \propto \lambda^{-5/2} / \lambda = (\alpha + \beta)^{-7/2}$.

The exponent $-5/2$ of the $(\alpha, \beta)$ density seems to have been used for $\lambda$ without the Jacobian.

The difference changes the behavior of the prior. Let $u = \lambda^{-1/2}$. For large $\lambda$, $u$ is approximately $\mathrm{sd}(\theta) / \sqrt{\phi (1 - \phi)}$, and $u = 0$ means no variation between groups. The BDA prior is uniform on $u$. The User's Guide prior has density $\propto u^2$ on $u$, which is zero at $u = 0$.

Suggested fix (one of):

  1. Change the code to lambda ~ pareto(0.1, 0.5); and the text to $p(\lambda) \propto \lambda^{-3/2}$. Also say that the lower bound 0.1 makes the improper BDA prior proper.
  2. Keep the code and remove the statement that the prior follows BDA.

A proper alternative with the same $\lambda^{-3/2}$ tail is an exponential prior with rate $r$ on $\lambda^{-1/2}$, that is lambda ~ frechet(0.5, square(r)). It approximates a penalized complexity prior with the base model $\lambda = \infty$. Context: https://discourse.mc-stan.org/t/how-to-choose-a-prior-for-the-count-parameter/41653

Lingua principale
TeX
Stelle
43
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132
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Come iniziare

  1. Leggi tutta la issue e poi la guida ai contributi del progetto.
  2. Commenta sulla issue per dire che te ne occupi tu — evita che due persone facciano lo stesso lavoro.
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  4. Apri una pull request che faccia riferimento al numero della issue.

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