User's Guide: Beta count-parameter prior does not match the cited BDA prior
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研究方向
閱讀 src/stan-users-guide/reparameterization.qmd 中的「Beta and Dirichlet priors」段落，並將其中關於先驗的敘述和程式碼與引用的 BDA3 第 5.3 節比較。判斷兩個建議的修正方案中，哪一個能維持指南在數學上的一致性，然後視需要更新文字和程式碼。先驗與說明相符且 BDA 引用正確後，即告完成。
由索引模型根據 Issue 內容生成。
描述
In src/stan-users-guide/reparameterization.qmd, section "Beta and Dirichlet priors", the text says: "Following @[GelmanEtAl:2013, Chapter 5] the mean gets a uniform prior and the count parameter a Pareto prior with $p(\lambda) \propto \lambda^{-2.5}$." The code has lambda ~ pareto(0.1, 1.5);, which gives this density for $\lambda > 0.1$.
This is not the BDA prior. BDA3 Section 5.3 uses $p(\alpha, \beta) \propto (\alpha + \beta)^{-5/2}$. This density is on $(\alpha, \beta)$, not on $\lambda$. BDA3 gets it from a uniform prior on $(\alpha / (\alpha + \beta), (\alpha + \beta)^{-1/2})$.
The Jacobian of $(\phi, \lambda) \mapsto (\alpha, \beta) = (\lambda \phi, \lambda (1 - \phi))$ is $\lambda$. Thus:
- The BDA prior on $(\phi, \lambda)$ is $p(\phi, \lambda) \propto \lambda \cdot \lambda^{-5/2} = \lambda^{-3/2}$.
- The User's Guide prior on $(\alpha, \beta)$ is $p(\alpha, \beta) \propto \lambda^{-5/2} / \lambda = (\alpha + \beta)^{-7/2}$.
The exponent $-5/2$ of the $(\alpha, \beta)$ density seems to have been used for $\lambda$ without the Jacobian.
The difference changes the behavior of the prior. Let $u = \lambda^{-1/2}$. For large $\lambda$, $u$ is approximately $\mathrm{sd}(\theta) / \sqrt{\phi (1 - \phi)}$, and $u = 0$ means no variation between groups. The BDA prior is uniform on $u$. The User's Guide prior has density $\propto u^2$ on $u$, which is zero at $u = 0$.
Suggested fix (one of):
- Change the code to
lambda ~ pareto(0.1, 0.5);and the text to $p(\lambda) \propto \lambda^{-3/2}$. Also say that the lower bound 0.1 makes the improper BDA prior proper. - Keep the code and remove the statement that the prior follows BDA.
A proper alternative with the same $\lambda^{-3/2}$ tail is an exponential prior with rate $r$ on $\lambda^{-1/2}$, that is lambda ~ frechet(0.5, square(r)). It approximates a penalized complexity prior with the base model $\lambda = \infty$. Context: https://discourse.mc-stan.org/t/how-to-choose-a-prior-for-the-count-parameter/41653
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- Fork 儲存庫，在一個分支上完成修改。
- 送出 Pull Request，並在描述裡引用這個 Issue 編號。
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