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More precise definition of derivations in natural deduction

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Valutazione

Difficoltà
3/5
Tempo stimato
1-2 giorni
Idoneità per principianti
38/100
Tipo di issue
Documentazione
Chiarezza
Abbastanza chiara
Stato di attività
Ferma
Stack tecnologico
tex
Ambito
documentation

Direzione di ricerca

Inizia da content/first-order-logic/natural-deduction/derivations.tex e leggi la definizione attuale delle derivazioni e la dimostrazione della compattezza. Controlla dove viene usata la finitezza, inclusa la discussione sull’aritmetizzazione. Il lavoro è concluso quando la definizione garantisce esplicitamente che le derivazioni siano finite, preservandone al contempo la presentazione accessibile, e gli usi interessati rimangono corretti.

Scritto dal modello di indicizzazione a partire dal testo della issue.

Descrizione

The current definition of a derivation of a sentence !A from a set of assumptions \Gamma in natural deduction is a tree of sentences in which the bottommost sentence is !A, the topmost sentences are in \Gamma or are discharged by an application of a rule, and every sentence in the tree apart from the conclusion is a premise of a correct application of an inference whose conclusion stands immediately below that sentence in the tree.

Unless I'm missing something, this does not appear to rule out infinite derivations. Definitions of the set of derivations in other standard textbooks, e.g. van Dalen's Logic and Structure, use an inductive definition to ensure the finiteness of definitions. I propose that we do the same, and make explicit the fact that this implies that all derivations are finite. This would thereby fix a hole in the proof that the derivability relation is compact, which makes explicit and essential use of the fact that derivations are finite. It's also implicitly used when we arithmetize derivations.

If this sounds like a reasonable idea then I'm happy to put together a patch with a proposed solution. Obviously it's important to preserve the virtues of the current definition, namely its approachability and relative informality.

Any changes would (I think) be restricted to content/first-order-logic/natural-deduction/derivations.tex, although the effects of the correction would be felt in other places where the proposition that the derivability relation is compact is used.

Lingua principale
TeX
Stelle
1.4k
Fork
289
Nessuna PR unita negli ultimi 30g

Preparare l'ambiente

Questo progetto non fornisce container di sviluppo, Dockerfile né guida per i contributori, quindi l'ambiente è a tuo carico: parti dal suo README e consulta la nostra guida al primo contributo per i passaggi generali.

Come iniziare

  1. Leggi tutta la issue e poi la guida ai contributi del progetto.
  2. Commenta sulla issue per dire che te ne occupi tu — evita che due persone facciano lo stesso lavoro.
  3. Fai un fork del repository e lavora su un branch.
  4. Apri una pull request che faccia riferimento al numero della issue.

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