add multiplier keyword to unit vector

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Descrição

In https://discourse.mc-stan.org/t/a-better-unit-vector/26989/30 Seth Axen lays out the reasoning for adding an additional parameter which repels values away from 0.

The current implementation is equivalent to

data {
  int<lower=0> N;
}
parameters {
  vector[N] u_raw;
}
transformed parameters {
  real r = dot_self(u_raw);
  vector[N] u = u_raw / sqrt(r);
}
model {
  target += -0.5 * r;
}

The proposal is to parameterize the unit vector as

data {
  int<lower=0> N;
}
parameters {
  vector[N] u_raw;
}
transformed parameters {
  real r = dot_self(u_raw);
  vector[N] u = u_raw / sqrt(r);
}
model {
 target += 0.5 * (a * log(r) - r);
}

where a >= 0 and is given as a multiplier keyword. As Seth notes in the post, it corresponds to the chi distribution with a + 1 degrees of freedom. The user would see:

unit_vector<multiplier=a>[N] u;

Setting a = 0 is equivalent to what is currently in Stan and will still be the default when the multiplier keyword is not used.

How to select a?

From the same thread the issue manifests with smaller dimension sizes of the unit vector. Heuristically, I'm finding that setting a = N^(6/N) where N is the dimension of the unit-vector works well.

         N a
 [1,]    1 1.000000
 [2,]    2 8.000000
 [3,]    3 9.000000
 [4,]    4 8.000000
 [5,]    5 6.898648
 [6,]    6 6.000000
 [7,]    7 5.301146
 [8,]    8 4.756828
 [9,]    9 4.326749
[10,]   10 3.981072

Here's a test model for 2d unit vectors where divergences occur in the current parameterization. When the data size, M, is small there are fewer divergences then when it's larger (M > 50).

data {
  int<lower=0> M;
  vector<lower=-pi(), upper=pi()>[M] y;
  real a;
}
parameters {
  vector[2] u_raw;
  real<lower=0> kappa;
}
transformed parameters {
  real r = dot_self(u_raw);
  vector[2] u = u_raw / sqrt(r);
  real mu = atan2(u[2], u[1]);
}
model {
  target += 0.5 * (a * log(r) - r);
  kappa ~ exponential(1);
  y ~ von_mises(mu, kappa);
}

The data for this can be created as

M <- 100
y <- runif(M, min = -pi/4, max = pi/4)
true_mean <- 0

mod_unit <- cmdstan_model("unit.stan")

mod_unit_out <- mod_unit$sample(
  data = list(M = M,
              y = y,
              a = 2^(6/2),
  seed = 2309423,
  parallel_chains = 4
)
Linguagem predominante
C++
Estrelas
845
Forks
225
Merge médio
4d 21h
PRs com merge (30d)
13

Preparar o ambiente

Primeiros passos

  1. Leia a issue inteira e depois o guia de contribuição do projeto.
  2. Comente na issue dizendo que vai assumir — evita que duas pessoas façam o mesmo trabalho.
  3. Faça um fork do repositório e trabalhe em uma branch.
  4. Abra um pull request que referencie o número da issue.

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