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Implementing a convolution operator

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Valutazione

Difficoltà
5/5
Tempo stimato
Più di una settimana
Idoneità per principianti
25/100
Tipo di issue
Funzionalità
Chiarezza
Da chiarire
Stato di attività
Ferma
Stack tecnologico
julia
Ambito
backend

Direzione di ricerca

Inizia studiando gli spazi Laurent() e Fourier() esistenti, le loro rappresentazioni tramite coefficienti e il modo in cui gli operatori di conversione collegano i domini periodici. Poi analizza come vengono definiti gli operatori personalizzati e come vengono composti con altri operatori. Il lavoro è completato quando è possibile costruire un operatore di convoluzione per funzioni periodiche e sommarlo o moltiplicarlo nelle equazioni lineari descritte, gestendo la conversione per i domini non canonici.

Scritto dal modello di indicizzazione a partire dal testo della issue.

Descrizione

Given a (periodic) function $f$ I would like to implement its convolution operator $C_f$, i.e. an operator that I can later apply on a function to give $C_f g = \int dy f(x-y)g(y)$.

After doing some search through the code, I don't think a convolution operator has been implemented in ApproxFun, though as a complete newbie, tbh, I am quite lost in the code. I could imagine a convolution was implemented as least implicitly, because I guess it is used for multiplying two functions over any Fourier space.

I managed to implement and explicit convolution for two functions on a Laurent() space. This is convenient, as the convolution basically just amounts to multiplying the coefficients of both functions:

#assume that f and g are Laurent over the same domain
function convolution_approxfun(f,g)
    x0=first(ApproxFunBase.domain(f))
    x1=last(ApproxFunBase.domain(f))
    L=x1-x0
    #fourier index of the n'th coefficient
    fourier_index = [if mod(a,2)==1 div(a-1,2) else -div(a,2) end for a=1:ncoefficients(f)]
    return Fun(Laurent(ApproxFunBase.domain(f)),f.coefficients.*g.coefficients.*L.*exp.(-2*pi*1im/L.*fourier_index*x0))
end

It works, but it is of course not very flexible code (Note the extra phase has to be added in case the interval starts at $x_0 \neq 0$).

The reason I need to implement the convolution operator is that I would like to solve some linear equation that contains a convolution operator. So the above explicit implementation is not enough for me, I need to implement an operator that I can add and multiply to other operators.

From what I understand about the functionality of ApproxFun.jl I think a good implementation would look something like this:

  1. Using a conversion operator to convert a function on any periodic domain to the canonical domain with the canonical space (I think its Fourier()) on it.
  2. Implementing a convolution operator on this canonical space, which is just multiplying the coefficients
  3. Using a conversion operator to convert the function back to the original domain/space

I have the feeling all of these steps could be very easy to implement, but I am lacking the detailed understanding of how ApproxFun.jl works in the background. I would be great if someone could help me with that: How do I implement a custom operator in general? How do I take care of the conversion properly?

PS: In case others agree I would be great to add convolution operators to the general functionality of ApproxFun in the future. At least for me convolution operators appear frequently in scientific computing.

Lingua principale
Julia
Stelle
559
Fork
71
Merge medio
23m
PR unite (30g)
1

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